Difference between revisions of "Python/C2/Getting-started-with-symbolics/Tamil"
From Script | Spoken-Tutorial
| Line 293: | Line 293: | ||
| அடுத்த line type செய்க: f=picewise([[(0,1),h(x)],[(1,2),g(x)]],x) | | அடுத்த line type செய்க: f=picewise([[(0,1),h(x)],[(1,2),g(x)]],x) | ||
| − | f is equal to piecewise within brackets 0 comma 1 பின் comma h பின் another bracket | + | f is equal to piecewise within brackets 0 comma 1 பின் comma h பின் another bracket h அடுத்து square bracket it is 1,2, g of x comma x பின் type செய்க: f, |
|- | |- | ||
| Line 319: | Line 319: | ||
|ஒரு convergent series f(n)=1 by n raised to 2 க்கு, நாம் typeசெய்வது... | |ஒரு convergent series f(n)=1 by n raised to 2 க்கு, நாம் typeசெய்வது... | ||
var('n') | var('n') | ||
| − | function('f',n) | + | |
| − | f(n)=1/n^2 | + | function('f', n) |
| − | sum(f(n),n,1,oo) | + | |
| + | f(n) = 1/n^2 | ||
| + | |||
| + | sum(f(n), n, 1, oo) | ||
|- | |- | ||
| 10:55 | | 10:55 | ||
| நாம் இப்போது இன்னொரு series ஐ முயற்சிக்கலாம். | | நாம் இப்போது இன்னொரு series ஐ முயற்சிக்கலாம். | ||
| − | f(n)=(-1)^(n-1)*1/2*n-1) | + | f(n) = (-1)^(n-1)*1/(2*n - 1) |
| − | அடுத்த வரியில் எழுதுக sum(f(n),n,1,oo) | + | அடுத்த வரியில் எழுதுக sum(f(n), n, 1, oo) |
|- | |- | ||
| Line 378: | Line 381: | ||
|13:05 | |13:05 | ||
| உதாரணமாக ஒரு expression ஐ முதலில் முயற்சிக்கலாம். | | உதாரணமாக ஒரு expression ஐ முதலில் முயற்சிக்கலாம். | ||
| − | |||
|- | |- | ||
| − | |13: | + | |13:07 |
| − | | | + | |எனவே type செய்க diff பின் bracketகளினுள் x star star 2 plus sin of x coma x |
| − | + | ||
|- | |- | ||
| Line 392: | Line 393: | ||
| 13:27 | | 13:27 | ||
| அதன் முதல் argument என்பது ஒரு expression அல்லது function மற்றும் இரண்டாவது argument என்பது ஒரு independent variable. | | அதன் முதல் argument என்பது ஒரு expression அல்லது function மற்றும் இரண்டாவது argument என்பது ஒரு independent variable. | ||
| + | |||
|- | |- | ||
|13:33 | |13:33 | ||
| நாம் expression ஐ ஏற்கெனவே பார்த்துவிட்டோம், இப்போது ஒரு function ஐ பார்க்கலாம். | | நாம் expression ஐ ஏற்கெனவே பார்த்துவிட்டோம், இப்போது ஒரு function ஐ பார்க்கலாம். | ||
| + | |||
| + | |- | ||
| + | |13:41 | ||
| + | |f = exp(x^2) + arcsin(x) | ||
| + | |||
| + | diff(f(x),x) | ||
|- | |- | ||
| 14:00 | | 14:00 | ||
| ஒரு higher order differential ஐ பெற நாம் கூடுதலாக ஒரு மூன்றாவது argument ஐ order க்கு சேர்க்க வேண்டும். type செய்க: | | ஒரு higher order differential ஐ பெற நாம் கூடுதலாக ஒரு மூன்றாவது argument ஐ order க்கு சேர்க்க வேண்டும். type செய்க: | ||
| + | diff(f(x),x,3) | ||
|- | |- | ||
| Line 408: | Line 417: | ||
|14:38 | |14:38 | ||
|differentiation of expression போலவே நீங்கள் அவற்றை integrate செய்யவும் செய்யலாம். | |differentiation of expression போலவே நீங்கள் அவற்றை integrate செய்யவும் செய்யலாம். | ||
| + | x = var('x') | ||
| + | s = integral(1/(1 + (tan(x))**2),x) | ||
| + | பின் type செய்க s | ||
|- | |- | ||
| 15:18 | | 15:18 | ||
| பல முறை நாம் ஒரு expression இன் factors ஐ கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நாம் அதற்கு "factor" function ஐ பயன்படுத்தலாம். | | பல முறை நாம் ஒரு expression இன் factors ஐ கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நாம் அதற்கு "factor" function ஐ பயன்படுத்தலாம். | ||
| + | y = (x^100 - x^70)*(cos(x)^2 + cos(x)^2*tan(x)^2) | ||
| + | அடுத்த வரியில் f = factor(y) | ||
|- | |- | ||
| 15:46 | | 15:46 | ||
| function <tt>simplify</tt> ஐ கொண்டு நாம் complicated expression களை simplify செய்யவும் செய்யலாம். | | function <tt>simplify</tt> ஐ கொண்டு நாம் complicated expression களை simplify செய்யவும் செய்யலாம். | ||
| + | f.simplify_full() | ||
|- | |- | ||
| Line 424: | Line 439: | ||
|16:07 | |16:07 | ||
| நாம் அந்த algebraic part அல்லது trigonometric part ஐ மட்டுமே கூட எளியதாக்கலாம். | | நாம் அந்த algebraic part அல்லது trigonometric part ஐ மட்டுமே கூட எளியதாக்கலாம். | ||
| + | f.simplify_exp() | ||
| + | |||
| + | |- | ||
| + | |16:24 | ||
| + | |f.simplify_trig() | ||
|- | |- | ||
|16:33 | |16:33 | ||
|நாம் <tt>find_root</tt> function ஐ கொண்டு ஒரு equation ன் roots ஐ காணலாம். | |நாம் <tt>find_root</tt> function ஐ கொண்டு ஒரு equation ன் roots ஐ காணலாம். | ||
| + | phi = var('phi') | ||
| + | அடுத்த வரியில் find_root(cos(phi) == sin(phi),0,pi/2) | ||
|- | |- | ||
| 17:07 | | 17:07 | ||
| நாம் இந்த solution ஐ equation க்குள் மாற்றி சரியா என்று பார்க்கலாம். | | நாம் இந்த solution ஐ equation க்குள் மாற்றி சரியா என்று பார்க்கலாம். | ||
| + | var('phi') | ||
| + | f(phi) = cos(phi)-sin(phi) | ||
| + | root = find_root(f(phi) == 0,0,pi/2) | ||
| + | f.substitute(phi=root) | ||
|- | |- | ||
| Line 459: | Line 485: | ||
|- | |- | ||
|18:33 | |18:33 | ||
| − | |x star sin into x square | + | |x star sin into x square |
|- | |- | ||
| Line 492: | Line 518: | ||
| 19:53 | | 19:53 | ||
|இப்போது கொஞ்சம் matrix algebra symbolically செய்யலாம் | |இப்போது கொஞ்சம் matrix algebra symbolically செய்யலாம் | ||
| + | var('a,b,c,d') | ||
| + | அடுத்த வரியில் A=matrix([[a,1,0],[0,b,0],[0,c,d]]) | ||
| + | அடுத்த வரியில் A | ||
|- | |- | ||
| 20:29 | | 20:29 | ||
| இப்போது சில matrix operation களை இந்த matrix மீது செய்யலாம். | | இப்போது சில matrix operation களை இந்த matrix மீது செய்யலாம். | ||
| + | A.det() | ||
| + | பின் A.inverse() | ||
|- | |- | ||
Revision as of 12:20, 17 December 2013
| Timing | Narration |
|---|---|
| 0:02 | "Getting started with Symbolics".tutorial க்கு நல்வரவு! |
| 0:07 | இந்த டுடோரியலின் முடிவில் செய்ய முடிவது...
|
| 0:24 | இந்த tutorial ஐ ஆரம்பிக்கும் முன் "Getting started with sage notebook" டுடோரியலை முடியுங்கள். |
| 0:31 | Sage மற்ற விஷயங்களுக்கு கூடுதலாக Symbolic Math ஐ செய்ய முடியும். sage இல் symbolic expressions ஐ Define செய்யலாம். |
| 0:42 | Sage notebook திறந்திருக்க வேண்டும். |
| 0:44 | இல்லையானால் video ஐ pause செய்து Sage notebook ஐ துவக்குங்கள். |
| 0:49 | sage notebook இல் type செய்க: sine y. |
| 1:08 | பின் shift enter ஐ சொடுக்குக. |
| 1:12 | y define ஆகவில்லை என name error கிடைக்கிறது. |
| 1:14 | நாம் y ஐ symbol என declare செய்ய வேண்டும். |
| 1:17 | var function ஐ கொண்டு அதை செய்வோம். |
| 1:19 | type செய்க: var within brackets மற்றும் single quotes y. |
| 1:28 | type செய்க: sin within brackets y, Sage சும்மா expression ஐயே திருப்பும். |
| 1:32 | type செய்க: sine y. |
| 1:37 | sage sin of y ஐ symbolic expression ஆக கொள்கிறது. |
| 1:42 | Sage ன் built-in constants மற்றும் expressions ஐ கொண்டு symbolic math ஐ செய்யலாம். |
| 1:47 | சில உதாரணங்களை பார்க்கலாம். |
| 1:50 | type செய்க: var within brackets மற்றும் single quotes x comma alpha comma y comma beta |
| 1:59 | பின் அடுத்த line இல் type செய்க: x charat 2 by alpha charat 2 plus y charat 2 by beta charat 2 |
| 2:10 | அதாவது x squared by alpha squared plus y squared by beta squared. |
| 2:17 | நான்கு variable களை define செய்துவிட்டோம். x, y, alpha மற்றும் beta மற்றும் அவற்றை பயன்படுத்தி ஒரு symbolic expression ஐயும் define செய்தோம். |
| 2:25 | இங்கே ஒரு expression theta இல்..... |
| 2:29 | type செய்க: var within brackets மற்றும் single quotes theta |
| 2:38 | பின் sine within brackets theta multiplied by sine within brackets theta plus cos within brackets theta multiplied by cos within brackets theta |
| 2:55 | இப்போது Sage இல் symbolic expressions ஐ define செய்ய அறிவீர்கள். ஒரு பயிற்சி. |
| 3:01 | video வை நிறுத்தி பயிற்சியை முடித்த பின் தொடரவும். |
| 3:05 | Sage இல் பின் வரும் expressions ஐ symbolic expressions ஐ define செய்க. |
| 3:11 | x squared plus y squared |
| 3:13 | மற்றும் அடுத்து y squared minus 4 ax |
| 3:18 | solution .. screen இல் உள்ளது |
| 3:25 | அதாவது var within brackets மற்றும் single quotes x,y பின் x squared plus y squared that is x charat 2 plus y charat 2. |
| 3:33 | பின் அடுத்து var within brackets மற்றும் single quotes a,x,y பின் y charat 2 minus 4 into a into x |
| 3:49 | Sage..... pi, e, infinity போன்ற.... mathematics இல் அடிக்கடி வரும் …. built-in constants ஐயும் தருகிறது. |
| 3:56 | function n …. இந்த constantகளின் numerical value களை தருகிறது. |
| 4:00 | type செய்க: n within brackets pi பின் n within brackets e பின் n within brackets oo. |
| 4:18 | நீங்கள் function n documentation ஐ பார்த்தால் n tab ஐ செய்வதால், அது ஏற்கும் எல்லா arguments ஐயும் மற்றும் அது திருப்புவனவற்றையும் பார்க்கலாம்.</nowiki> |
| 4:26 | type செய்க: n மற்றும் tab ஐ தட்டுக. |
| 4:30 | இந்த script தொடரில் அறிமுகமாகும் எல்லா function களின் documentation ஐயும் காண்பது மிக நல்லது. |
| 4:36 | மேலும் constant களில் நமக்கு தேவையான அளவு number of digits ஐ நாம் நிர்ணயிக்கலாம். |
| 4:40 | இதற்கு pass செய்ய வேண்டிய argument -- digits. |
| 4:46 | type செய்க: n within brackets pi comma space digits is equal to 10. |
| 5:01 | constants தவிர Sage இன்னும் நிறைய built-in functions ஐ கொண்டிருக்கிறது. sin, cos, log, factorial, gamma, exp, arctan அதாவது arctangent போன்ற பல. |
| 5:16 | சிலதை Sage notebook இல் முயற்சிக்கலாம். |
| 5:21 | type செய்க: sine within brackets pi by 2 பின் arctan oo பின் log within brackets.... |
| 5:44 | artan என type செய்தால் error வருகிறது. நாம் type செய்ய வேண்டியது: arctan |
| 5:54 | பின் type செய்க: log e comma e |
| 6:03 | video வை இங்கே நிறுத்தி பயிற்சியை செய்து முடித்து பின் தொடரவும். |
| 6:06 | பின் வரும் constant களின் மதிப்பை 6 digits precision இல் கண்டுபிடிக்கவும். |
| 6:14 | முதலில் option pi square |
| 6:18 | பின் euler underscore gamma square |
| 6:23 | பின் வருவனவற்றின் மதிப்பை கண்டுபிடிக்கவும். |
| 6:26 | 1. sin of pi divided by 4 |
| 6:28 | அடுத்தது . ln of 23. |
| 6:32 | தீர்வுகள் ஸ்கிரீனில் உள்ளன. |
| 6:36 | அதாவது n into within brackets pi squared comma digits equal to 6, அடுத்தது n into within brackets sin pi by 4 மற்றும் பின் மூன்றாவது n into within brackets log 23 comma e |
| 7:05 | x, y போன்ற variable களை define செய்தோம். பின்வரும் வழியில் ஒரு arbitrary function ஐ விரும்பிய பெயருடன் define செய்யலாம். |
| 7:14 | type செய்க: var within brackets மற்றும் single quotes x மற்றும் பின் அடுத்த line function within brackets மற்றும் single quotes f comma x |
| 7:33 | இங்கே f என்பது function இன் பெயர்; x என்பது independent variable . |
| 7:37 | இப்போது f of x ஐ define செய்யலாம். |
| 7:40 | அதாவது f of x within brackets x is equal to x by 2 plus sin x. |
| 7:53 | value x=pi க்கு இந்த function f ஐ Evaluate செய்யpi by 2 ஐ திருப்புகிறது. |
| 8:01 | type செய்க: f within brackets pi |
| 8:07 | நமக்கு கிடைக்கும் answer 1 by 2 into pi. |
| 8:12 | தொடர்ச்சியாக இல்லாமல்... piecewise define ஆகிய function களையும் define செய்யலாம். |
| 8:18 | நாம் ஒரு function ஐ define செய்யலாம். அது ஒரு parabola.... between 0 to 1 மற்றும் ஒரு constant from 1 to 2 . |
| 8:24 | Piecewise function ஐ பயன்படுத்தலாம். அது ஒரு list of pairs இலிருந்து … ஒரு piecewise function ஐ திருப்புகிறது. |
| 8:31 | பின் வருவதை type செய்க: |
| 8:35 | var within brackets in single quotes x |
| 8:41 | பின் h of x is equal to x charat 2 |
| 8:52 | பின் g of x is equal to 1 |
| 8:58 | அடுத்த line type செய்க: f=picewise([[(0,1),h(x)],[(1,2),g(x)]],x)
f is equal to piecewise within brackets 0 comma 1 பின் comma h பின் another bracket h அடுத்து square bracket it is 1,2, g of x comma x பின் type செய்க: f, |
| 9:21 | convergent series மற்றும் other series function களையும் define செய்யலாம். |
| 9:26 | நாம் முதலில் முன்னே சொன்னபடி ஒரு function f(n) ஐ define செய்வோம். |
| 9:29 | type செய்க: var within brackets n in single quotes |
| 9:39 | பின் type செய்க: function within brackets f,n |
| 9:53 | ஒரு range of discrete values of n க்கு function ஐ sum செய்ய sage function sum ஐ பயன்படுத்தலாம். |
| 10:03 | ஒரு convergent series f(n)=1 by n raised to 2 க்கு, நாம் typeசெய்வது...
var('n') function('f', n) f(n) = 1/n^2 sum(f(n), n, 1, oo) |
| 10:55 | நாம் இப்போது இன்னொரு series ஐ முயற்சிக்கலாம்.
f(n) = (-1)^(n-1)*1/(2*n - 1) அடுத்த வரியில் எழுதுக sum(f(n), n, 1, oo) |
| 11:33 | இந்த series pi by 4 க்கு converge ஆகிறது. |
| 11:40 | video வை நிறுத்தி பயிற்சியை முடித்த பின் தொடரவும். |
| 11:46 | piecewise function ஐ Define செய்க. |
| 11:47 | f of x is equal to 3x plus 2 when x is in the closed interval 0 to 4. |
| 11:55 | f of x is equal to 4x squared between 4 to 6. |
| 12:03 | Sum of 1 by within brackets n squared -1 where n ranges from 1 to infinity. |
| 12:11 | solution screen இல் உள்ளது. |
| 12:13 | var('x') h(x) = 3 into x plus 2 g(x) is equal to 4 into x squared f = Piecewise within brackets மீண்டும் square brackets மற்றும் square brackets மீண்டும் within closing brackets (0,4),h(x),(4,6),g(x),x type செய்க f |
| 12:40 | அடுத்த step - type செய்க: var('n')
f = 1/(n squared minus 1) sum(f(n), n, 1, oo) |
| 13:00 | மேலே போய் Sage இல் simple calculus operations செய்வதெப்படி என காணலாம். |
| 13:05 | உதாரணமாக ஒரு expression ஐ முதலில் முயற்சிக்கலாம். |
| 13:07 | எனவே type செய்க diff பின் bracketகளினுள் x star star 2 plus sin of x coma x |
| 13:18 | diff function ஆனது expression அல்லது ஒரு function ஐ differentiate செய்கிறது. |
| 13:27 | அதன் முதல் argument என்பது ஒரு expression அல்லது function மற்றும் இரண்டாவது argument என்பது ஒரு independent variable.
|
| 13:33 | நாம் expression ஐ ஏற்கெனவே பார்த்துவிட்டோம், இப்போது ஒரு function ஐ பார்க்கலாம். |
| 13:41 | f = exp(x^2) + arcsin(x)
diff(f(x),x) |
| 14:00 | ஒரு higher order differential ஐ பெற நாம் கூடுதலாக ஒரு மூன்றாவது argument ஐ order க்கு சேர்க்க வேண்டும். type செய்க:
diff(f(x),x,3) |
| 14:35 | இங்கே அது 3. |
| 14:38 | differentiation of expression போலவே நீங்கள் அவற்றை integrate செய்யவும் செய்யலாம்.
x = var('x') s = integral(1/(1 + (tan(x))**2),x) பின் type செய்க s |
| 15:18 | பல முறை நாம் ஒரு expression இன் factors ஐ கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நாம் அதற்கு "factor" function ஐ பயன்படுத்தலாம்.
y = (x^100 - x^70)*(cos(x)^2 + cos(x)^2*tan(x)^2) அடுத்த வரியில் f = factor(y) |
| 15:46 | function simplify ஐ கொண்டு நாம் complicated expression களை simplify செய்யவும் செய்யலாம்.
f.simplify_full() |
| 16:06 | இது expression ஐ முழுதும் எளியதாக்குகிறது. |
| 16:07 | நாம் அந்த algebraic part அல்லது trigonometric part ஐ மட்டுமே கூட எளியதாக்கலாம்.
f.simplify_exp() |
| 16:24 | f.simplify_trig() |
| 16:33 | நாம் find_root function ஐ கொண்டு ஒரு equation ன் roots ஐ காணலாம்.
phi = var('phi') அடுத்த வரியில் find_root(cos(phi) == sin(phi),0,pi/2) |
| 17:07 | நாம் இந்த solution ஐ equation க்குள் மாற்றி சரியா என்று பார்க்கலாம்.
var('phi') f(phi) = cos(phi)-sin(phi) root = find_root(f(phi) == 0,0,pi/2) f.substitute(phi=root) |
| 17:55 | நாம் காணும்படி நாம் மதிப்பை மாற்றிய போது விடை almost = 0. ஆகவே நமக்கு கிடைத்த solution சரியே. |
| 18:04 | video வை நிறுத்தி பயிற்சியை முடித்த பின் தொடரவும். |
| 18:10 | பின் வருவனவற்றை Differentiate செய்க. |
| 18:12 | 1. sin(x cubed) plus log(3x) , degree=2 |
| 18:24 | 2. x raised to 5 into log x raised to 7 , degree=4 |
| 18:32 | கொடுத்த expression ஐ Integrate செய்க. |
| 18:33 | x star sin into x square |
| 18:44 | Find x |
| 18:45 | cos(x squared)-log(x)=0 |
| 18:50 | அந்த equation க்கு root 1,2 க்கு நடுவில் உள்ளதா? |
| 18:55 | solution screen இல் உள்ளது. |
| 18:56 | முதல் one க்கு நாம் type செய்யலாம்: var('x') f(x)= x raised to 5 into log of x raised to 7 diff(f(x),x,5) |
| 19:15 | அடுத்த line இல் type செய்க: var('x')பின் இரண்டாவது line integral(x*sin(x^2),x) |
| 19:33 | மூன்றாவதற்கு type செய்க: var('x') பின் f=cos(x^2)-log(x) find_root(f(x)==0,1,2) |
| 19:53 | இப்போது கொஞ்சம் matrix algebra symbolically செய்யலாம்
var('a,b,c,d') அடுத்த வரியில் A=matrix([[a,1,0],[0,b,0],[0,c,d]]) அடுத்த வரியில் A |
| 20:29 | இப்போது சில matrix operation களை இந்த matrix மீது செய்யலாம்.
A.det() பின் A.inverse() |
| 20:46 | நாம் காணும்படி, determinant ஐயும் மற்றும் inverse of the matrix ஐயும் முறையே பெற்றோம். |
| 20:50 | video வை நிறுத்தி பயிற்சியை முடித்த பின் தொடரவும். |
| 20:57 | பின் வருவனவற்றின் determinant மற்றும் inverse ஐ காண்க. |
| 20:59 | A = within square brackets ... மற்றும் மீண்டும் brackets x,0,1 பின் மீண்டும்square brackets y,1,0 மீண்டும் square bracket z,0,y |
| 21:18 | solution உங்கள் screen இல் உள்ளது. |
| 21:20 | var('x,y,z') A = matrix([[x,0,1],[y,1,0],[z,0,y]])பின் மூன்றாவது line இல் நீங்கள் type செய்யலாம்: A dot det function மற்றும் அடுத்த line நீங்கள் type செய்யலாம்: A dot inverse function |
| 21:44 | இத்துடன் இந்த டுடோரியல் முடிகிறது. |
| 21:48 | கற்றவை, |
| 21:49 | Define symbolic expression மற்றும் functions using the method var. |
| 21:53 | பின் pi,e,oo போன்ற built-in constants, மற்றும் sum,sin,cos,log,exp போன்ற functions மற்றும் பலவற்றை பயன்படுத்துவது. |
| 22:00 | பின் Tab ஐ பயன்படுத்தி ஒரு function இன் documentation ஐ காணுதல் |
| 22:03 | simple calculus ஐ functions ஐ பயன்படுத்தி செய்தல்-
diff()--ஒரு differential of a functionக்கு - integral()--ஒரு expression ஐ integrate செய்ய - simplify-- complicated expression ஐ simplify செய்ய. |
| 22:16 | substitute function ஐ பயன்படுத்தி expressions இல் values Substitute செய்ய. |
| 22:19 | symbolic matrices உருவாக்கி, அவற்றின் மீது operations செய்ய -- -
det()--determinant of a matrix ஐ காண, - inverse()-- inverse of a matrix ஐ காண. |
| 22:29 | தீர்வு காண சில self assessment கேள்விகள் |
| 22:32 | 1. ஒரு பெயரான 'y' ஐ ஒரு symbol ஆக எப்படி define செய்யலாம்? |
| 22:37 | 2. sage மூலம் pi இன் மதிப்பை 5 digits துல்லியத்துக்கு காணல் எவ்வாறு? |
| 22:41 | 3. f(x) = sin(x^2)+exp(x^3)இன் third order differential function என்ன? |
| 22:50 | விடைகள்: |
| 22:53 | 1. function var ஐ பயன்படுத்தி ஒரு symbol ஐ define செய்யலாம். |
| 22:57 | இங்கே அது var('y') |
| 23:02 | 2. pi இன் மதிப்பு 5 digits துல்லியத்தில் n(pi,5) |
| 23:11 | 3. third order differential function ஐ order ஐ கூறும் third argument ஐ சேர்ப்பதன் மூலம் காணலாம். |
| 23:18 | அதன் syntax , diff(f(x),x,3) |
| 23:24 | இந்த tutorial ஐ ரசித்து இருப்பீர்கள் மற்றும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் என்று நம்புகிறேன். |
